Le GPS
Dans ce dernier aspect de la problématique, nous abordons le système américain de positionnement par satellite. Ce système rendu « civil » dès 1990 comprend plus d'une vingtaine de satellites (ce nombre est variable ; les satellites ayant une durée de vie de 7 ou 8 ans, ils sont souvent remplacés) gravitant autour de la Terre à environ 20 000 km. La question est la suivante : comment, à partir de 3 ou 4 satellites aussi éloignés, est-il possible de connaître sa position exacte sur la Terre ? Le principe du GPS découlant directement de celui de la triangulation, nous étudierons ce dernier en premier lieu, avant de nous intéresser au fonctionnement du GPS proprement dit.
I°/ La triangulation
1) Principes
Le principe est le suivant : on dispose de deux observateurs, A et C, et on connaît la distance les séparant. On demande à chacun de mesurer l'angle formé par les droites reliant chaque observateur à son collègue et à l'objet observé. Pour nous aider à trouver la position de B(X,Y), on dispose notamment de la loi des sinus :
LOI DES SINUS
a/sin(&alpha) = b/sin(ß) = c/sin(&gamma)
On cherche x et y, sachant qu'on connaît b, &alpha et &gamma .
La somme des angles d'un triangle étant de 180°, on a ß=180-(&alpha+&gamma).
Comme b/sin(ß) = c/sin(&gamma), on a c = bsin(&gamma)/sin(ß).
On connaît donc les coordonnées polaires de C ( bsin(&gamma)/sin(ß) ; &alpha).
On peut alors facilement obtenir ses coordonnées cartésiennes à l'aide des relations ;
- X = r.cos(&alpha)
- Y = r.sin(&alpha)
On obtient finalement X = bsin(&gamma)/sin(ß) * cos(&alpha) et Y = bsin(&gamma)/sin(ß) * sin(&alpha)
Il suffit ensuite d'ajouter X à la latitude de A et Y à sa longitude afin de connaître l'emplacement de C.
2) Exemples
L'observateur A se trouve à 100m de l'observateur C. Le premier relève un angle &alpha = 50°, et le second un angle &gamma = 40°.
On obtient très vite :
X = 100*sin(40)/sin(90)*cos(50) = 41
et Y = 100*sin(40)/sin(90)*sin(50) = 49
On ajoute 41m à partir de la position de A le long de l'axe des abscisses et 49m le long de l'axe des ordonnés afin de trouver les coordonnés de B.
II°/ Le GPS - principe de fonctionnement
La méthode utilisée par le système Américain de repérage découle de la méthode de la triangulation, dont on a parlé précédement. La seule différence est que ce principe s'applique maintenant en 3 dimensions, et non plus en 2.
1) La triangulation
1. On considère un satellite dans l'espace, dont la position est parfaitement connue. Soit d la distance le séparant du récepteur GPS. Alors ce récepteur peut se situer n'importe où dans l'espace sur une sphère centrée sur le satellite et de rayon d.
2. Si on fait intervenir un second satellite, dont on connaît également la position, on obtient une seconde sphère où pourrait se situer le récepteur GPS. Ce dernier se situe forcément quelque part à l'intersection des deux sphères, qui forme un cercle.
3. La précision n'étant pas suffisante avec 2 satellites, on en fait intervenir un troisième. Le principe est le même qu'avec deux satellites. On obtient alors 2 points possibles. Dans le cas où l’utilisateur se situe à la surface de la Terre seul un des 2 points est cohérent (un seul point se situe à la surface de la Terre). Ainsi on peut déduire sa position exacte en éliminant le point donnant un résultat incohérent.
Donc : en théorie 3 satellites suffisent pour connaître la position exacte d’un point sur Terre.
2) La mesure de distances
La démonstration précédente repose entièrement sur l'hypothèse qu'on connaît la distance séparant le satellite du récepteur. Mais comment la calculer? Le principe est assez simple : le satellite envoie un signal dans toutes les directions de l'espace, qui contient l'heure de son émission. Ce signal est capté par le récepteur. Ce dernier détermine le temps que les ondes ont mis pour lui parvenir et peut ainsi calculer la distance le séparant du satellite grâce à la formule :
Distance = vitesse * temps
La vitesse des ondes composant le signal est proche de celle de la lumière, c'est-à-dire 300 000 km/s.
La détermination du temps nécessaire au signal pour arriver au récepteur relève de considérations très techniques qui ne trouvent pas leur place dans ce TPE, c'est pourquoi nous n'en parlerons pas. Il nous suffit de savoir qu'on peut le connaître très précisément.
3) Le positionnement des satellites
En théorie donc cela permet d'obtenir une position exacte. Cependant, il reste un dernier détail: la position des satellites. En effet, pour calculer précisemment la position du récepteur, il faut connaître parfaitement la position dans l’espace de chaque satellite. C’est le rôle des stations de contrôle : le satellite envoie sa position théorique à la station de contrôle, qui calcule alors l’erreur de position qu'il a commise afin de lui renvoyer la valeur de cette erreur. Le satellite peut donc informer le récepteur du décalage qu’il doit prendre en compte dans ses calculs.
Ainsi donc depuis quelques années la relation entre distances et temps prend toute son importance. Dans cet exemple, une erreur d'une milliseconde dans l'évaluation du temps produit une différence de 300km à l'arrivée ! C'est pourquoi aujourd'hui on cherche sans cesse à améliorer la précision des mesures, que ce soit de temps ou de distances.